题 目	有杆抽油系统的数学建模及诊断

摘	要
本文以油杆抽油系统作为研究对象，针对提出的问题，建立了 6 个数学模型。定量描述了四连杆结构抽油系统中光杆悬点的运动规律，给出了悬点在一个冲程中的位移函数、速度函数、加速度函数的表达式。分析利用 Gibbs 模型将题中给出的悬点示功图转化为泵功图，并利用泵功图对附件 1、2 中的油井产液量进行估算，最后在分析 Gibbs 模型优缺点基础上，对其进行了改进，同时理论推导了新的阻尼系数计算方法，并编程进行了仿真。
针对问题一，建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ。模型Ⅰ将悬点的运动视为曲柄滑块结构运动， 根据几何关系和给出的其他参数，计算出了悬点的位移、速度、加速度函数；模型Ⅱ利用解析法精确求解计算出了悬点的位移、速度、加速度函数。最后将两种模型求解得出的结果和给出的数据作图比对，由图可知，解析法求得的结果能够更加真实得反映悬点的运动规律，同时可以根据运动规律推算出合理的结构设计。
针对问题二，建立模型Ⅲ。模型Ⅲ利用给出的 Gibbs 模型，采用基于分离变量的傅里叶变换算法，分析边界条件、连续性条件，编写 MATLAB 程序，将给出的悬点示功图转化成泵功图，利用模型将附件 1、附件 2 数据转化得到的泵功图边线较为光滑，接近长方形，对比悬点示功图和泵功图，泵功图的冲程要明显小于示功图的，泵功图的位移较示功图位移有明显滞后，泵功图有效的消除了由于弹性形变和震动造成的示功图上下边线波动的现象。
针对问题三，建立模型Ⅳ、模型Ⅴ。模型Ⅳ用泵功图面积估计日产液量，求解过程中提出了一种求解非等间隔采样图形面积的“最近点分割算法”，该算法克服了传统算法中必须等间隔采样的局限，不仅可用于泵功图面积的求解，对任意非等间隔采样图形求面积的问题都适用。模型Ⅳ通过泵功图分析了阀门的不同工作状态，根据泵功图的曲率变化得到柱塞有效冲程，进而估算日产液量，这是目前生产中应用最为广泛的估算方法。通过
MATLAB 仿真，对附件 1 中 7#井和附件 2 中 1#井的日产液量进行估算。对于 7#井，用面积法求得日产量为 126.42 吨，用有效冲程计算日产量为 89.34 吨；对于 1#井，用面积法求
得日产量为 21.94 吨，用有效冲程计算日产量为 20.11 吨。
针对问题四，改进模型Ⅲ，建立模型Ⅵ。通过对模型Ⅲ抽油杆力学分析，得出在用 Gibbs 模型求解多级抽油杆系统泵功图时，相邻两根抽油杆柱连接处的环形区域受到油管内液体的压力不能忽略，为此修改了油杆在连接处的连续性条件，重新计算泵功图，并进行了比较，效果要好于 Gibbs 模型。模型Ⅵ推导得出了用示功图计算阻尼系数的方法，并将附件 1、
2 中的数据带入，求解得出了阻尼系数分别为 1.0341 s-1 、0.3395 s-1 。关键词：四连杆模型	Gibbs 模型	泵功图	日产液量估算	阻尼系数
目录
题 目	有杆抽油系统的数学建模及诊断	
摘	要	
― 问题的重述与分析	
1.1 问题重述	
1.2 需要解决的问题	
二 问题假设	
三 符号说明	
四 模型建立与求解	
4.1 问题一：光杆悬点的运动规律	
4.1.1 模型建立	
4.1.2 简化为曲柄滑块机构求解悬点 E 运动规律	
则	
4.1.3 由解析式求得运动规律的精确解	
s2 - b2 + l 2 ds	
4.1.4 两种方法结果对比	
12 时悬点到达下死点，下死点位移为	
4.1.5 对问题一的再思考	
12 时悬	
4.2 问题二泵功图计算	
4.2.1 Gibbs 模型介绍	
2Efr	
2  K	2p 2np	
2  K	2p 2np	
2  K	2p 2np	
2  K	2p 2np	
x + (d b - g a ) sinh b x) cosa x	
t	
4.2.2 Gibbs 模型在计算泵功图中的应用	
4.2.2.1 Gibbs 模型理论应用	
4.2.2.2 利用 Gibbs 模型求解步骤	
4.2.3 模型求解结果及分析	
4.2.3.1 对附件 1 中 1#抽油井求解泵功图	
4.2.3.2 对附件 2 中 7#号抽油井求解泵功	
2.5	
4.3 问题三 估计产油量	
4.3.1 模型 1：“面积法”估计油井产量	
4.3.1.1 模型分析	
4.3.2 模型 2：有效冲程估算油井产量	
4.3.2.1 泵功图模型再分析	
4.3.2.2 曲率模型的建立	
i	L   L L L L L	
4.3.2.3 柱塞有效冲程的确定方法	
4.3.2.4 抽油机井产液量计算	
= 1-fw r	
4.3.3 模型仿真与分析	
3.5	
4.4 问题四 深入研究的问题	
4	Gibbs模型求解泵功图(c=2.5)	
4.4.1 Gibbs 模型的改进	
4.4.2 阻尼系数计算方法	
2L	
(PRhp - Hhp)(T / S )2	
4.4.2.2 基于示功图的阻尼系数计算方法	
¶u(x, t) dx	
0	1 AP	
4.4.2.3 实验仿真	
五 模型的评价与推广